vanCopper bio photo

vanCopper

Try Your Best.

Email Github

原创博文,转载请声明

矩阵在数学中定义为按照长方阵列排列的复数或实数集合。长方阵列是什么鬼?复数是啥意思来着?实数,实数我知道是什么。实数是……哎,怎么忽然就想不起来了呢。有没有觉得自己学生时代学的东西都被拿去喂狗了?没关系,毕竟我们是有童子功的,稍微复习下就可以了。

这就是一个4x4的矩阵,也可以写成:

也有使用花括号的表示方法。所以你看矩阵就是由m(行)xn(列)个标量组成的长方形数组。可以将矩阵理解为网格结构,即有行(row)和列(column)之分。那么3x4的矩阵就是:

那么就有:

将矢量表示成矩阵

为了方便计算我们有时需要将矢量表示为nx1的列矩阵或者1xn的行矩阵。比如v=(1,3,5)表示为行矩阵:

表示为列矩阵:

矩阵运算

1.矩阵与标量相乘

矩阵与标量相乘非常简单,用常量分别与矩阵元素相乘即可:

2.矩阵与矩阵相乘

两个矩阵相乘必须满足:第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同。例如rxn的矩阵A乘以nxc的矩阵B,即得到rxn的矩阵C。矩阵C中每一个元素等于A的第i行所对应的矢量和B的第j列所对应的矢量进行矢量点乘的结果:

列如:

最后矩阵乘法不满足交换律,矩阵乘法满足结合律。

3.与单位矩阵相乘

如果一个矩阵除了对角元素外,其它所有元素均为0,那么这个矩阵就叫做对角矩阵(diagonal matrix)单位矩阵是一个特殊的对角矩阵,任何矩阵与单位矩阵相乘结果还是原来的矩阵。一个3x3的单位矩阵如下:

特殊矩阵

1.转置矩阵

转置矩阵(transposed matrix)是对原矩阵进行转置运算。给定一个rxc的矩阵M,那么转置矩阵既是cxr,就是将原矩阵翻转即可:原矩阵的第i行变成了第i列,而第j列变成了第j行。

2.逆矩阵

首先不是所有的矩阵都有逆矩阵(inverse matrix)。逆矩阵有一个前提是该矩阵必须是一个方阵(行列相等的矩阵)。如果一个矩阵可逆,我们就说它是可逆矩阵,相反则是不可逆矩阵。

  1. 原矩阵与逆矩阵相乘得到单位矩阵
  2. 逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身
  3. 单位矩阵的逆矩阵是它本身
  4. 转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置

扫码分享该文